Теоремы о предельном переходе и непрерывности функциональных последовательностей и рядов

Пусть $f_{n}(x) \rightrightarrows_{n\to \inf}^{x} f(x),~x_{0} \in X^{'}~(предельная)$ $\forall{n}\in \mathbb{N}~~\exists{\lim_{x \to x} f_{n}(x) =A_{n}},$ тогда $\exists{\lim_{x \to \infty } A_{n}}$ и $\lim_{x \to \infty} A_{n} = \lim_{x \to x_{0}} f(x),$ т.е $\lim_{x \to \infty} \lim_{x \to x_{0}} f_{n}(x) = \lim_{x \to x_{0}}\lim_{x \to \infty} f_{n}(x)$

$\forall{\varepsilon}>0, \exists{N}~~\forall{n,m} > N(\varepsilon)~~~\forall{x} \in X \mathpunct{:} |f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ $\lim_{x \to x_{0}} |f_{n}(x) - f_{m}(x)| \leq \dfrac{\varepsilon}{2} \Rightarrow |A_{n}- A_{m}| \leq \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \Rightarrow \{A_{n}\}~-$ фундаментальна $\Rightarrow$ по к. Коши $\exists{A} =\lim_{x \to \infty} A_{n}$ Надо доказать, что $$\forall{\varepsilon}>0~~\exists{\delta}~~\forall{x \in X}\mathpunct{:}~~0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x) - A| \leq |f(x) - f_{n}(x)|+|f_{n}(x) -A_{n}| +|A_{n} -A| < \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon {}$$ $\exists{M}~~|f_{n}(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{3}$ $N_{2} |A_{n} - A| < \dfrac{\varepsilon}{3}$ $n > \max \{N_{1}, N_{2}\}$

Если $f_{n}(x)~-$ непрерывна в точке $x_{0} \in X,~\forall{n \in \mathbb{N}}~$ и $f_{n}(x) \rightrightarrows _{n \to \infty}^{x} f(x),$ тогда $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$

$$\lim_{x \to x_{0}} f(x) = \lim_{x \to x_{0}} \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = \lim_{x \to \infty} \lim_{n \to x_{0}} f_{m}(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x_{0}) = f(x_{0}) {}$$

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) \rightrightarrows S(x)~на~X, x_{0} \in X!$ (предельная точка) $\forall{n \in \mathbb{N}}~~\lim_{x \to x_{0}} a_{n}(x) = \alpha_{n},$ тогда $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}~-$ сходиться и $\lim_{x \to x_{0}} S(x) = \lim \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{x \to x_{0}} a_{n}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}$

$f_{n}(x) = S_{n}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_{k}(x)$

Если $a_{n}(x)$ непрерывна и $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) \rightrightarrows S(x),$ то $S(x)~-$ непрерывна